多元复合函数的求导疑问求高手解答!Z=f(x+y,xy),求Z先对x再对y的二阶偏导.解答是：令U=X+Y,V=XY,f'1=￡f(u,v)/￡u,f'2=￡f(u,v)/￡v,f''12=￡^2f(u,v)/￡u￡v.f'1中的1表示对第一个中间变量u求的偏导,2代

Question

多元复合函数的求导疑问 求高手解答!
Z=f(x+y,xy),求Z先对x再对y的二阶偏导. 解答是：令U=X+Y,V=XY,f'1=￡f(u,v)/￡u ,f'2=￡f(u,v)/￡v,f''12=￡^2f(u,v)/￡u￡v.f'1中的1表示对第一个中间变量u求的偏导,2代表对v求偏导. 所以￡^2Z/￡X￡Y=￡(￡Z/￡X)/￡Y=￡f'1/￡y+￡(Yf'2)/￡Y 到这里还能理解 但下一步是=f''1×1+f''12×X+（1×f'2+Y×￡f'2/￡Y）这步理解不了,是什么意思?
比较笨,还是没能理解那步是怎么出来的 画树状图形的办法我是会的 关键是e^2z/exey=e/ey*(ef/eu+ef/ev*y)=e^2f/eu^2*eu/ey+e^2f/euev*ev/ey+ef/ev+y*(e^2f/eveu*eu/ey+e^2f/ev^2*ev/ey)
当中第二个等号是怎么推出来的 能解释一下吗?看不懂这一步.

Answer 1

你不要看那个答案,看我的回答怎么样?
对于多元复合函数求导的问题,一种有效的方法就是画树状图形
是这样的:(针对这道题)
有三列:
第一列:Z,第二列:U,V,第三列:x,y
Z连接:U,V
U,V分别连接:x,y
所以对z=f(x+y,xy)先对x再对y的二阶偏导
你从图形看Z到x有几条路线呢?
是:Z->U->x
Z->V->x
先求对x求偏导(我是以e代表求偏导)
z=f(x+y,xy)
z=f(u,v),u=x+y,v=xy
ez/ex=ef/eu*eu/ex+ef/ev*ev/ex=ef/eu+ef/ev*y
这里的ef/eu,ef/ev是以u,v为中间变量的,x,y为自变量的复合函数,你可以在图形上看出来,所以待会再求导的时候要注意了哦
e^2z/exey=e/ey*(ef/eu+ef/ev*y)
=e^2f/eu^2*eu/ey+e^2f/euev*ev/ey+ef/ev+y*(e^2f/eveu*eu/ey+e^2f/ev^2*ev/ey)
这就是最后的答案,跟你那个是一样的
做复合函数求导的时候就是要弄清谁根谁有关系!