复合函数的二阶导数与普通函数二阶导数的表达式的差异问题y=f(u),u=g(x)与y=f(u)[u非中间变量],分别二阶求导后,两者表达式有差异,是什么原因导致的?求用图像具体解释,注意,我只要问在图像上

Question

复合函数的二阶导数与普通函数二阶导数的表达式的差异问题
y=f(u),u=g(x)与y=f(u)[u非中间变量],分别二阶求导后,两者表达式有差异,是什么原因导致的?求用图像具体解释,注意,我只要问在图像上的差异!

Answer 1

两者根本不是同一种函数,所以不要说二阶求导后图像的差异,连最开始的图像都是完全不一样的


因为图像的横轴和纵轴表现的是因变量与自变量之间的对应关系
前者,y=f[g(x)]表达的是y与x之间的关系,y与x间的这种对应关系是由函数f与g所确定的某两种特定的函数形式复合而成的一种全新的关系,比方 x+1  与x²复合而成的（x+1）²这个表达式


后者,y=f（u）,u就是自变量,那么图像应该是横轴为u,纵轴为y的一幅图,它和y=f（x）图像的区别只是横轴上的字母不同,而图像形状完全一样



所以总结来说,y=f[g(x)]表达的是某个自变量x通过g与f两种函数形式的复合得到y的过程
    y=f（u）表达的是某个自变量u通过f这一层变化得到y的过程
它们的图像,可以有关系,比方f（x）与f（x+1）,也可以完全没关系（只需要内层函数复杂点）



啰嗦这么多,想说的是,从上面的分析可以看出,研究图像是很没意义的,尤其内层函数复杂的情况下,最重要的,是理解中间的逻辑关系!



附：
f[g(x)]整体一次求导结果应为：f′[g(x)]·g′(x)
f[g(x)]整体二次求导结果应为：f″[g(x)]·g′(x)·g′(x)+f′[g(x)]·g″(x)


再附：
f[g(x)]整体求导与f′[g(x)]的区别在于：前者是把g（x）代入f（u）,再对x求导
                                                         后者是f（u）对u求导,再令u=g（x）代入
         两者差别可以举一些具体的例子感受一下.