变上限积分区间0-x,F(x)=∫tf(x-t)dt将x-t=u,那变成区间还是0-x,∫（x-u)f(u)du这x,t,u哪些是变量啊,为什么不是∫（x-u)f(u)d（x-u)呢?

Question

变上限积分
区间0-x,F(x)=∫ tf(x-t)dt
将x-t=u,那变成区间还是0-x,∫（x-u)f(u)du
这x,t,u哪些是变量啊,为什么不是∫（x-u)f(u)d（x-u)呢?

Answer 1

对于F(x)而言,当然x是自变量,但是一旦x 确定了,那F(x)的值也就确定了,
现在,固定x,对于那个定积分而言,当然t是变量,现在我们要做的是 将f（x-t） 简化,所以作变量代换,令x-t=u,那么t = x-u ,dt = - du （注意这时x固定,是常量） 原来的积分变为
∫ （x-u）f（u）（-du）,但注意到这时积分上下限也在改变,因为当t = 0 时 u=x,t=x时,u=0 也就是说,现在积分上限是 0,下限是x ,然后上下限交换位置,多出一个负号,正好与（-du）中的负号抵消,变为正,就变为那个样子了.