a1=5,an=2an-1+2^n-1,求an,(n≥2)a1=5,an=2an-1+2^n-1,求an,n≥2

Question

a1=5,an=2an-1+2^n-1,求an,(n≥2)
a1=5,an=2an-1+2^n-1,求an,n≥2

Answer 1

2^n-1是2^（n-1）还是（2^n）-1?
我按照前者来做.（如果是后者,方法相同）
由题目很容易猜测,原体是下面这个类型
an-f（n）=2[a（n-1）-f(n-1)]
找到这样一个f（n）就很好办了
那么,f（n）-2f（n-1）就必须等于2^(n-1)
这就要发动脑筋了
f(n)=n*2^(n-1)
就是它了
开始解题
an=2a（n-1）+2^（n-1）
那么an-n*2^(n-1)=2[a（n-1）-（n-1）*2^(n-2)]
令bn=an-n*2^(n-1)
即bn=2b（n-1）
由于b1=a1-0=5
所以bn=5*2^(n-1)
那么
bn=an-n*2^(n-1)=5*2^(n-1)
所以an=（n+5）*2^(n-1)