方阵的特征值问题老师,我是自学者,在学习方阵的特征值时,这个地方不明白,设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,…,λn,则(i)λ1+λ2+…+λn=a11+a12+……+ann(ii)λ1λ2…λn=|A|书上小字写着|A-λE|=f(λ)=(λ1

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方阵的特征值问题
老师,我是自学者,在学习方阵的特征值时,这个地方不明白,设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,…,λn,则
(i) λ1+λ2+…+λn=a11+a12+……+ann
(ii) λ1λ2…λn=|A|
书上小字写着|A-λE|=f(λ) =(λ1-λ)(λ2-λ)…(λn-λ)这个地方我也不明白,

▼优质解答

答案和解析

|A-λE|=f(λ) =(λ1-λ)(λ2-λ)…(λn-λ)
这是因为A=(aij)的特征值为λ1,λ2,…,λn, 而A的特征值都是多项式|A-λE|=f(λ)的根, 所以有这个分解.
考察这个等式中 λ^(n-1) 的系数与常数项
再由行列式的定义考察行列式|A-λE|的展开中 λ^(n-1) 的系数与常数项
比较即得两个结论

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