行线方程组的计算已知n维列向量α1,α2,.αn中,前n-1个向量线性相关,后n-1个向量线性无关,β=α1+α2+.+αn,A=(α1,α2,.αn),（1）证明：AX=β有无穷解（2）求AX=β的通解.

Question

行线方程组的计算
已知n维列向量α1,α2,.αn中,前n-1个向量线性相关,后n-1个向量线性无关,β=α1+α2+.+αn,A=(α1,α2,.αn),（1）证明：AX=β有无穷解（2）求AX=β的通解.

Answer 1

证明:(1) 因为 α1,α2,...,αn中,前n-1个向量线性相关
所以 r(α1,α2,...,αn-1) < n-1
所以 r(α1,α2,...,αn-1,αn) = n-1
故 r(α1,α2,...,αn-1,αn) = n-1.
即 r(A) = n-1.
因为 β=α1+α2+...+αn 可由 α1,α2,...,αn-1,αn 线性表示(组合系数都取1)
所以 r(A,β) = r(A) = n-1.
所以 AX=β 有无穷多解.
(2) 因为 β=α1+α2+...+αn
所以 (1,1,...,1)^T 是 AX=β 的一个特解.
由(1) r(A,β) = r(A) = n-1
故 AX=0 的基础解系含 n - r(A) = 1 个解向量.
再由 α2,...,αn 线性无关,知α2,...,αn-1线性无关
而 α1,α2,...,αn-1 线性相关
所以α1可由α2,...,αn-1线性表示
即有 α1+k2α2+...+kn-1αn-1 = 0
所以 (1,k2,...,kn-1,0)^T 是 AX=0 的非零解.
故 AX=β的通解为:(1,1,...,1)^T+c(1,k2,...,kn-1,0)^T.
这题有意思.但美中不足的是 k2,...,kn-1 无法确定.
若有更好的结果的话请告诉我!