（2012•肇庆一模）已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．（1）求此四棱锥的体积；（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；

Question

（2012•肇庆一模）已知四棱锥P-ABCD如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．
（1）求此四棱锥的体积；
（2）若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．

Answer 1

（1）由题意可知，PA⊥底面ABCD，
四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积S_ABCD=2×2=4，高h=2，
所以VP−ABCD＝(1)/(3)SABCD•h＝(1)/(3)×4×2＝(8)/(3)．
（2）证明：由三视图可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD=A，PA⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD
∴CD⊥平面PAD，
∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD，
又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，
∴AE⊥PD，
又PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD．
（3）证明：∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD且EF＝(1)/(2)CD
又∵CD∥AB且CD=AB，∴EF∥AB且EF＝(1)/(2)AB，
∴四边形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交．
所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面．