设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向量易知y^Tx=x^Ty=2.令B=xy^T,则B^2=(xy^T)(xy^T)=x(y^Tx)y^T=2xy^T=2B.所以B的特征值只能是0,2.由于r(B)=1,故BX=0的基础解系含n-1

Question

设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向量
易知 y^Tx = x^Ty = 2.
令B=xy^T,则
B^2 = (xy^T)(xy^T) = x(y^Tx)y^T = 2xy^T = 2B.
所以 B 的特征值只能是 0,2.
由于 r(B)=1,故 BX=0 的基础解系含n-1个解向量
B =
x1y1 x1y2 ...x1yn
x2y1 x2y2 ...x2yn
..
xny1 xny2 ...xnyn
-->
y1 y2 ...yn
0 0 ...0
......
0 0 ...0
(这里是怎么来的?)
由已知x^Ty=2,x≠0,y≠0
不妨设y1≠0,x1≠0.
则BX=0的基础解系为
α1 = (y2,-y1,0,...,0)^T
α2 = (y3,0,-y1,...,0)^T
....
αn-1 = (yn,0,0,...,-y1)^T
因为 Bx = (xy^T)x = x(y^Tx) = 2x,x≠0
所以 αn = x 是B的属于特征值2的特征向量.
(这里是怎么来的为什么是特征向量)

Answer 1

因为B的秩为1,所以用初等行变换可化为只有一个非零行的矩阵
因为 x^Ty=2,所以 x≠0
所以x至少有一个分量不等于0 (你不妨想像x1≠0,然后第1行乘1/x1,再把其余行化为0)
这是特征向量的定义 (你晕了)
Bx = 2x,  λ=2 即特征值,x 就是特征向量
再由 A=E+B 知 A 的特征值为 1,...,1,2
对应的特征向量与B的相同(这是定理)