1.在底面为矩形的四棱锥A-BCDE中,AB垂直于平面BCDE求证（1）DE垂直于AE（2）CD垂直于平面ABC2.ABCD-A1B1C1D1是正方体.求证(1)BD垂直于平面AA1C（2）A1C垂直于平面BC1D

Question

1.在底面为矩形的四棱锥A-BCDE中,AB垂直于平面BCDE
求证（1）DE垂直于AE（2）CD垂直于平面ABC
2.ABCD-A1B1C1D1是正方体.求证(1)BD垂直于平面AA1C（2）A1C垂直于平面BC1D

Answer 1

（1）
因为BCDE是矩形,所以DE垂直BE
因为AB垂直平面BCDE,所以AB垂直DE
所以DE垂直平面ABE
所以DE垂直AE
（2）
同上,因为CD垂直BC,AB垂直CD
所以CD垂直平面ABC
知识点：若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则这条直线垂直于这个平面.
第二题用向量法解极其方便
以C为坐标原点,CD为x轴,CB为y轴,CC1为z轴建立空间坐标系
设正方体棱长为1
则写出各点坐标
A(1,1,0),B(0,1,0),C(0,0,0),D(1,0,0)
A1(1,1,1),B1(0,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)
（1）
BD=(1,-1,0),AA1=(0,0,1),CA=(1,1,0)
因为BD*AA1=0+0+0=0,BD*CA=1-1+0=0
所以BD垂直AA1,BD垂直CA
因为AA1与CA是平面AA1C内的相交直线
所以BD垂直平面AA1C
（2）
CA1=(1,1,1),DB=(-1,1,0),DC1=(-1,0,1)
因为CA1*DB=-1+1+0=0,CA1*DC1=-1+0+1=0
所以CA1垂直DB,CA垂直DC1
因为DB,DC1是平面BC1D内的相交直线
所以DB垂直平面BC1D