快椭圆G：x^2/4+y^2/3=1,直线l过左焦点F1（-1,0）,且与椭圆G交于点A,B两点,（1）当直线L变化时,使直线1/AF1+1/BF1是否为定值,若是,求出定值（2）若过F1且垂直直线L的直线N交椭圆于C,D两点,是否存在

Question

快
椭圆G：x^2/4+y^2/3=1,直线l过左焦点F1（-1,0）,且与椭圆G交于点A,B两点,
（1）当直线L变化时,使直线1/AF1+1/BF1是否为定值,若是,求出定值
（2）若过F1且垂直直线L的直线N交椭圆于C,D两点,是否存在常数,使AB向量的模+CD向量的模=常数*AB向量的模*CD向量的模恒成立,并求四边形ABCD面积的最小值
（3）在X轴上是否存在一定点T（t,0）,当直线L变化时,使TA向量的模*TB向量的模是否为定值,若是,求出该定值.

Answer 1

e=√(4-3)/2=1/2;
根据焦半径公式,AF1=a+exA=2+xA/2; BF1=a+exB=2+xB/2;
1/AF1+1/BF1=1/(2+xA/2)+1/(2+xB/2)=2(4+xA+xB)/[(4+xA)(4+xB)]=2(4+xA+xB)/[xA·xB+ 4(xA+xB)+16] ……①
设直线l的点斜式方程为y=k·(x+1),代入椭圆方程中得
x^2/4+k^2·(x+1)^2/3=1
(3+4k^2)x^2 + 8k^2·x +(4k^2 -12)=0
xA和xB就是这个方程的解;根据韦达定理,xA+xB=-8k^2/(3+4k^2); xA·xB=(4k^2 -12)/(3+4k^2)
代入①整理得
1/AF1+1/BF1=2/3