已知椭圆：X^/4+y^/3=1直线y=kx-2与椭圆相交于A、B,连OA、OB,取OA、OB中点M、N,连MN,以MN为直径做圆,恰好过原点,求K的值?

Question

已知椭圆：X^/4 +y^/3 =1
直线y=kx-2与椭圆相交于A、B,连OA、OB,取OA、OB中点M、N,连MN,以MN为直径做圆,恰好过原点,求K的值?

Answer 1

设M(x1,y1),N(x2,y2),则A(2x1,2y1),B(2x2,2y2)；
以MN为直径的圆,圆心为MN的中点,设为C（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）
MN²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(2r)²,
r²=OC²=(x1+x2)²/4+(y1+y2)²/4
所以：(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²+(y1+y2)²
得：x1x2+y1y2=0
因为点A(2x1,2y1),B(2x2,2y2)在直线y=kx-2上,
所以,有：2y1=2kx1-2,2y2=2kx2-2
即：y1=kx1-1,y2=kx2-1
所以：y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)
则x1x2+y1y2=0,即：(k²+1)x1x2-k(x1+x2)=0
A,B是直线y=kx-2与椭圆x²/4+y²/3=1的交点,
把y=kx-2代入x²/4+y²/3=1,
得关于x的二次方程：(k²+3/4)x²-4kx+1=0
点A(2x1,2y1),B(2x2,2y2)是交点,即2x1,2x2是该方程的两个根；
由韦达定理：2x1+2x2=4k/(k²+3/4)；2x1*2x2=1/(k²+3/4)
整理得：x1+x2=8k/(4k²+3),x1x2=1/(4k²+3)；
代入等式：(k²+1)x1x2-k(x1+x2)=0
得：(k²+1)/(4k²+3)-8k²/(4k²+3)=0
即：-7k²+1=0
得：k=±√7/7
注：直线与圆锥曲线相交的题目：按条件列式,联列方程组,用韦达定理；这是一个经常使用的固定套路,要好好掌握哦.
如果不懂,请Hi我,