如图，AB是⊙O的直径，点C为AB上面半圆上一点，点D为AB的下面半圆的中点，连接CD与AB交于点E，延长BA至F，使EF=CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若DE•DC=13，求⊙O的半径．

Question

如图，AB是⊙O的直径，点C为AB上面半圆上一点，点D为AB的下面半圆的中点，连接CD与AB交于点E，延长BA至F，使EF=CF．

（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若DE•DC=13，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）连接OC、OD．
∵

AD

=

BD

，
∴OD⊥AB，∠AOD=90°，
∵FE=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠ODC，
∴∠FCO=∠FCE+∠OCE=∠FEC+∠EDO=∠OED+∠ODC=90°．
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙⊙O的切线．

（2）连接BC、BD．
∵

AD

=

BD

，
∠EBD=∠BCD，
∵∠BDE=∠CDB，
∴△BDE∽△CDB，
∴(BD)/(CD)=(ED)/(BD)，
∴BD²=CD•ED=12，
∵∠BOD=90°，
∴OB²+OD²=BD²=12，
∴OB²=6，
∴OB=√(6)，
∴⊙O的半径为√(6)．