椭圆的中点弦问题,有俩个办法一个是根与系数关系法,二个是点差法,想问的是第一种根与系数关系法中联立直线与椭圆方程,消去一个未知数,然后用韦达定理解决,其中消去未知数有时候是消

Question

椭圆的中点弦问题,有俩个办法一个是根与系数关系法,二个是点差法,想问的是第一种根与系数关系法中
联立直线与椭圆方程,消去一个未知数,然后用韦达定理解决,其中消去未知数有时候是消去X,有时候消去Y,为什么?该如何判断?

Answer 1

先消去谁要考虑两个方面：首先是解题的直接需要,比如运用弦长公式时；二个就是运算的简便性,因为直线方程多为y=kx+b的形式,而圆锥曲线是二次方程,所以通常用x代替y,运算起来比较简单.当然,如果考虑运算简便先消去的是y,而我需要的却是x,怎么办?其实直线方程y=kx+b就给了一个线性的转换条件：因为两点即在椭圆上同时也在直线上,那么两点的坐标都满足直线方程,于是有y1=kx1+b,y2=kx2+b,两式相加不就有了y1+y2=k(x1+x2)+2b吗?两式相乘不就有了y1y2=k^2x1x2+k(x1+x2)+b^2吗?所以我认为先消去谁都无所谓,只要运算简便!