如图1，⊙P的直径AB的长为16，E为半圆的中点，F为劣弧EB上的一动点，EF和AB的延长线交于点C，过点C作AB的垂线交AF的延长线于点D；（1）求证：BC=DC；（2）以直线AB为x轴，线段PB的中垂线为y轴

Question

如图1，⊙P的直径AB的长为16，E为半圆的中点，F为劣弧

EB

上的一动点，EF和AB的延长线交于点C，过点C作AB的垂线交AF的延长线于点D；
（1）求证：BC=DC；
（2）以直线AB为x轴，线段PB的中垂线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系xO_y，则点B的坐标为（4，0），设点D的坐标为（m，n）若m，n是方程x²+px+p+8=0的两根，求P的值；
（3）在（2）中的坐标系中，直线y=kx+8上存在点H，使△ABH为直角三角形，若这样的H点有且只有两个，请直接写出符合条件的k的值或取值范围．

Answer 1

（1）证明：连接BF，BD，以BD为直径画圆．

∵BF⊥FD，BC⊥CD，
∴F、C两点必过以BD为直径的圆，
∴∠DBC=∠DFC，
∴∠EFA=∠DFC=∠DBC．
∵∠EFA为劣弧

AE

的圆周角，且E为半圆的中点，
∴∠EFA=(1)/(2)•90°=45°．
在Rt△CDB中，
∵∠DBC=∠EFA=45°，
∴∠BDC=45°，
∴BC=CD．

（2）∵D（m，n），
∴C（m，0），
∵B（4，0），
∴BC=m-4，
∵BC=CD，
∴n=CD=m-4．
∴（m-n）²=4²=16
∵m、n为方程x²+px+p+8=0的两根，
∴m+n=-p，mn=p+8，
∴16=（m-n）²=（m+n）²-4mn=p²-4p-32，
解得 p=2+2√(13)或p=2-2√(13)．
对方程x²+px+p+8=0，△=p²-4（p+8）=（p-8）（p+4），
∵方程有两根，即△＞0，
∴p＜-4或p＞8，
∴p=2+2√(13)或p=2-2√(13)都符合要求，即此时p为2+2√(13)或2-2√(13)．

（3）答：k＜-(4)/(3)或k＞0时，使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．
分析如下：

如备用图，即（0，8）为C，直线y=kx+8必过此点，
连接CE，过点C作CD与⊙P相切与D，连接PD交CO于G，过点D作DF⊥OB于F．
此时直线CE与⊙P相切，当直线CE逆时针小范围旋转时，直线与圆有两个交点，即使△ABH为直角三角形H点有且只有两个；
由直线CD与⊙P相切，当直线顺时针小范围旋转时，直线与圆有两个交点，即使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．
综上，CE逆时针旋转至CD的过程中，使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．下面讨论k的情况．
①直线CE．此时为y=8，即k=0．
②直线CD．若连接PE，CP，易证△CEP≌△CDP，即CD=CE=4．
∵PO=4=CD，∠PGO=∠CGO，∠POG=∠CDG=90°，
∴△PGO≌△CGD，
∴设GO=x，PG=PD-GD=PD-GO=8-x，
在Rt△PGO中，由勾股定理得（8-x）²=4²+x²，
解得，x=3，
∴GO=3，PG=5．
∵GO∥DF，
∴(DF)/(GO)＝(PD)/(PG)，
∴(DF)/(3)＝(8)/(5)，
解得 DF=(24)/(5)，
同理，PF=(32)/(5)，
∴OF=PF-OP=(32)/(5)-4=(12)/(5)，
∴D（(12)/(5)，(24)/(5)），
∵D在直线CD：y=kx+8上，
∴代入解得 k=-(4)/(3)．
根据一次函数k的性质可知：k＜-(4)/(3)或k＞0时，使△ABH为直角三角形H点有且只有两个．