如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S△ABC=3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC

Question

如图，椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S_△ABC=3．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A，C），且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求直线PQ的斜率．

Answer 1

（Ⅰ）由2a=4，则a=2，|BC|=2|AB|，S_△OAB=(1)/(2)S_△ABC=(3)/(2)．
由△AOB是等腰三角形，则B（1，(3)/(2)），将B代入椭圆方程，(1)/(4)+(9)/(4b2)=1，解得：b²=3，
∴椭圆方程：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；
（Ⅱ）由题意可知：BP，BQ斜率存在，又∠PBC=∠QBA，
则k_BP=-k_BQ，
设直线BP：y-(3)/(2)=k（x-1），代入椭圆方程：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；
化简得：（3+4k²）x²-8k（k-(3)/(2)）x+4k²-12k-3=0，
由其一解为1，另一解为x_P=(4k2-12k-3)/(3+4k2)，解得：y_P=(-12k2-6k)/(3+4k2)+(3)/(2)，
用-k代入，解得：x_Q=(4k2+12k-3)/(3+4k2)，y_Q=(-12k2+6k)/(3+4k2)+(3)/(2)，
则直线PQ的斜率k_PQ=(yP-yQ)/(xP-xQ)=(1)/(2)，
∴直线PQ的斜率为(1)/(2)．