怎么求椭圆的焦点坐标?假如我已经知道某椭圆的方程为：AX^2+BXY+CY^2+DX+EY+F=0;如何用A,B,C,D,E,F这些参数得到椭圆中心点的坐标,椭圆的长半轴,短半轴,和长轴与X轴的夹角?

Question

怎么求椭圆的焦点坐标?
假如我已经知道某椭圆的方程为：AX^2+BXY+CY^2+DX+EY+F=0;
如何用A,B,C,D,E,F这些参数得到椭圆中心点的坐标,椭圆的长半轴,短半轴,和长轴与X轴的夹角?

Answer 1

AX^2 + BXY + CY^2 + DX + EY + F [A不等于0,不妨设A>0]
= A{X^2 + BXY/A + [BY/(2A)]^2} - B^2Y^2/(4A) + CY^2 + DX + EY + F
= A{[X + BY/(2A)]^2 + D[X + BY/(2A)]/A} - DBY/(2A) + Y^2[C - B^2/(4A)] + EY + F
= A{[X + BY/(2A)]^2 + D[X + BY/(2A)]/A + [D/(2A)]^2} - D^2/(4A) + Y^2[C - B^2/(4A)] + Y[E - BD/(2A)] + F
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + Y^2[C - B^2/(4A)] + Y[E - BD/(2A)] + F - D^2/(4A) 【C - B^2/(4A)不等于0,因A>0,所以 C - B^2/(4A)>0】
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y^2 + Y[E - BD/(2A)]/[C - B^2/(4A)]} + F - D^2/(4A)
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y^2 + Y[E - BD/(2A)]/[C - B^2/(4A)] + {[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}^2 } - [E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] + F - D^2/(4A)
= A{X + BY/(2A) + D/(2A)}^2 + [C - B^2/(4A)]{Y + [E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}^2 - [E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] + F - D^2/(4A)
[因A>0,所以,{[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)} > 0]
椭圆中心点的坐标为,
Y = -[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]
X = -[BY + D]/(2A) = -{D - B[E - BD/(2A)]/[2C - B^2/(2A)]}/(2A)
a^2 = {[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)}/A
b^2 = {[E - BD/(2A)]^2/[4C - B^2/A] - F + D^2/(4A)}/[C - B^2/(4A)]
a > 0,b > 0.
当a > b > 0时,长短半轴分别为a,b.
当b > a > 0时,长短半轴分别为b,a.
当a > b > 0时,长轴与X轴的夹角 = arctan{-B/(2A)}
当b > a > 0时,长轴与X轴的夹角 = PI/2 + arctan{-B/(2A)}
方法就是配方,化成标准型.
配方的时候,可以先把X^2 和XY项配成1项的平方,
然后在把X项也配进平方项.
最后,把Y^2和Y项配成平方.
就可以写成
AU^2 + PV^2 = Q了
使得U = 0,V = 0的点就是椭圆中心点.
Q/A,Q/P就是长短半轴的平方.
使得包含X^2,XY和X的平方项等于0的直线方程就是长轴或者短轴所在的直线方程.
设长半轴是a,半焦距为c,
则 (a-c) + a + c = 2a = 2[b^2 + c^2]^(1/2),
【椭圆远端点到焦点的距离之和 = 近端点到焦点的距离之和】
a^2 = b^2 + c^2,
c = (a^2 - b^2)^(1/2)