（2012•武汉模拟）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左右顶点，F（1，0）为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A，B），与

Question

（2012•武汉模拟）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左右顶点，F（1，0）为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A，B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1 (a＞b＞0)，半焦距为c，
因为A（-2，0）、B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F（1，0）为其右焦点，
所以a=2，c=1．又因为a²=b²+c²，所以b＝√(a2−c2)＝√(3)．
故椭圆C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，离心率为(1)/(2)．（5分）
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：
由题意可设直线l的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由

y＝k(x+2)

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则−2x0＝(16k2−12)/(3+4k2)．
所以x0＝

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