已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右为A1,A2,左,右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支除顶点外的一点,角PF1F2=30度,角PF2F1=60度,|PF1|=r1,|PF2|=r2,（1）求双曲线的离心率（2）求kPA1*kPA2的值

Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右为A1,A2,左,右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支除顶点外的一点,角PF1F2=30度,角PF2F1=60度,|PF1|=r1,|PF2|=r2,（1）求双曲线的离心率（2）求kPA1*kPA2的值

Answer 1

(1)r1^2+r2^2=4c^2 r1-r2=2a r2=c r1=2a+c
(r1-r2)^2=r1^2+r2^2-2r1r2=4c^2-2r1r2=4a^2
r1r2=2c^2-2a^2=(2a+c)c=2ac+c^2
c^2-2ac-2a^2=0 e^2-2e-2=0 e=1+√3.
(2)c=ea=(1+√3)a
设P(x0,y0),不妨假设y0>0.由面积桥公式可得：y0=r1r2/(2c)=(2a+c)/2=(3+√3)a/2.
由焦半径公式可得：r1=ex0+a,r2=ex0-a.
r1r2=e^2x0^2-a^2=2c^2-2a^2,x0^2=(2a^2c^2-a^4)/c^2=(2+√3)^2a^2/(1+√3)^2.
x0=(2+√3)a/(1+√3)=(1+√3)a/2.
kPA1=y0/(x0+a)=[(3+√3)a/2]/[(1+√3)a/2+a]=1.
kPA2=y0/(x0-a)=[(3+√3)a/2]/[(1+√3)a/2-a]=3+2√3.