设A,B分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点,双曲线的实轴长为4根号3焦点到渐近线的距离为根号3.已知直线y=根号3/3x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使向量OM+

Question

设A,B分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右顶点,双曲线的实轴长为4根号3
焦点到渐近线的距离为根号3.
已知直线y=根号3/3x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使向量OM+向量PN=t向量OD,求t的值及点D的坐标

Answer 1

双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)
实轴 2a=4√3 => a=2√3
渐近线 y=±b/a*x,即±bx-ay=0
焦点F1(-c,0),F2(c,0),
焦点到渐近线距离为d=|bc|/√(a^2+b^2)=bc/c=b=√3
∴c=√(a^2+b^2)=√15,∴双曲线方程为：x^2/12-y^2/3=1
将直线y=√3/3*x-2代入双曲线,可得x^2/12-(√3/3*x-2)^2/3=1
整理,可解得在右支上(x>0),两个交点为M(2√3,0),N(14√3,12)
∴向量OM=(2√3,0),向量ON=(14√3,12),
向量OM+向量ON=(16√3,12) = t向量OD
∴向量OD=(16√3/t,12/t)
又点D在双曲线上,∴(16√3/t)^2/12-(12/t)^2/3=1
解得t=±4
右支上点D的坐标为(4√3,3) (取t=4)