在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)椭圆C∶＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，＝2b2.(1)求a、b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与

Question

在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A (－2，－1)椭圆 C ∶ ＝1( a ＞ b ＞0)的左焦点为 F ，短轴端点为 B ₁ 、 B ₂ ， ＝2 b ² .
(1)求 a 、 b 的值；
(2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q ，与 y 轴的交点为R.过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P .若 AQ · AR ＝3 OP ² ，求直线 l 的方程．

Answer 1

（1） a ＝2 ， b ＝ （2）当 k ＝1时，直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0，当 k ＝－2时，直线 l 的方程为2 x ＋ y ＋5＝0.

(1)因为 F (－ c, 0)， B ₁ (0，－ b )， B ₂ (0， b )，所以 ＝( c ，－ b )， ＝( c ， b )．
因为 ＝2 b ² ，
所以 c ² － b ² ＝2 b ² .①
因为椭圆 C 过 A (－2，－1)，代入得， ＝1.②
由①②解得 a ² ＝8， b ² ＝2.
所以 a ＝2 ， b ＝ .
(2)由题意，设直线 l 的方程为 y ＋1＝ k ( x ＋2)．
由 得( x ＋2)[(4 k ² ＋1)( x ＋2)－(8 k ＋4)]＝0.
因为 x ＋2≠0，所以 x ＋2＝ ，即 x _Q ＋2＝ .
由题意，直线 OP 的方程为 y ＝ kx .
由 得(1＋4 k ² ) x ² ＝8.则 ＝ ，
因为 AQ · AR ＝3 OP ² .所以| x _Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3 .
即 ×2＝3× .
解得 k ＝1，或 k ＝－2.
当 k ＝1时，直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0，当 k ＝－2时，直线 l 的方程为2 x ＋ y ＋5＝0