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如图,以椭圆x2a2+y2=1的右焦点F2为圆心,1-c为半径作圆F2(其中c为已知椭圆的半焦距),过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T.(Ⅰ)若a=54,P为椭圆的右顶点,求切线长|PT|;(Ⅱ)设圆F2
题目详情
如图,以椭圆
+y2=1的右焦点F2为圆心,1-c为半径作圆F2(其中c为已知椭圆的半焦距),过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T.
(Ⅰ)若a=
,P为椭圆的右顶点,求切线长|PT|;
(Ⅱ)设圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,若OA⊥OB,且|PT|≥
(a-c)恒成立,求直线l被圆F2所截得弦长的最大值.
x2 |
a2 |
(Ⅰ)若a=
5 |
4 |
(Ⅱ)设圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A,B两点,若OA⊥OB,且|PT|≥
| ||
2 |
▼优质解答
答案和解析
(本题满分15分)
(I)由a=
得c=
,…(1分)
则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a−c=
,
故此时的切线长|PT|=
=
…(5分)
(Ⅱ)当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,而|PF2|min=a-c,
由|PT|≥
(a−c)恒成立,得
≥
(a−c),则
≤c<1…(7分)
由题意Q点的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入
+y2=1
得(a2k2+1)x2-2a2k2x+a2k2-a2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
(I)由a=
5 |
4 |
3 |
4 |
则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a−c=
1 |
2 |
故此时的切线长|PT|=
|PF2|2−(1−c)2 |
| ||
4 |
(Ⅱ)当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,而|PF2|min=a-c,
由|PT|≥
| ||
2 |
(a−c)2−(1−c)2 |
| ||
2 |
3 |
4 |
由题意Q点的坐标为(1,0),则直线l的方程为y=k(x-1),代入
x2 |
a2 |
得(a2k2+1)x2-2a2k2x+a2k2-a2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
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