如图，A、B分别是x轴和y轴上的点，以AB为直径作⊙M，过M点作AB的垂线交⊙M于点C，C在双曲线y=kx（x＜0）上，若OA-OB=4，则k的值是．

Question

如图，A、B分别是x轴和y轴上的点，以AB为直径作⊙M，过M点作AB的垂线交⊙M于点C，C在双曲线y=(k)/(x)（x＜0）上，若OA-OB=4，则k的值是______．

Answer 1

作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，连结AC、BC，如图，
∵AB为⊙M的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CM⊥AB，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴CA=CB，AB=√(2)BC，
∵∠CAO=∠CBO，
∵在△ACD和△BCE中

∠ADC＝∠BEC

∠CAD＝∠CBE

AC＝BC

，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=CE，
设C点坐标为（-t，t），A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
∵OA-OB=4，即-a-（-b）=4，
∴a=b-4，
∴a²=（b-4）²=b²-8b+16①，
∵AB²=a²+b²，BC²=CE²+BE²，
∴(1)/(2)（a²+b²）=t²+（t-b）²②，
由①②得t²-4-bt+2b=0，
∴（t+2）（t-2）-b（t-2）=0，
∴（t-2）（t+2-b）=0，
而t+2-b≠0，
∴t-2=0，解得t=2，
∴C点坐标为（-2，2），
把C（-2，2）代入y=(k)/(x)得k=-2×2=-4．
故答案为-4．