初中数学题：如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F．（

Question

初中数学题：如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F
如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①）,求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②）,那么（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．
求第三问就好了,前面两问没有问题,谢谢

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠DAB=12∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAF,
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD．
（2）△AEF和△ABC的面积比为：1：4；
（3）成立．
理由如下：∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=60°-∠FCB,=60°-∠EDB,
∴∠ACF=∠BAD,
又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAF,
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC．
（1）根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC