如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式

Question

如图①，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（4）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（2，0）；C（0，4）（2分）

（2）由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）²+2²=x²解得：x=(5)/(2)
此时，AD=(5)/(2)，D(2，(5)/(2))（2分）
设直线CD为y=kx+4，把D(2，(5)/(2))代入得(5)/(2)=2k+4（1分）
解得：k=-(3)/(4)
∴设直线CD解析式为y=-(3)/(4)x+4（1分）

（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=(5)/(2)，PD=BD=4-(5)/(2)=(3)/(2)，AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得：(5)/(2)PQ=3
∴PQ=(6)/(5)
∴xP=2+(6)/(5)=(16)/(5)，把x=(16)/(5)代入y=-(3)/(4)x+4得y=(8)/(5)
此时P((16)/(5)，(8)/(5))
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）
③当点P在第二象限时，如图
同理可求得：CQ=(8)/(5)
∴OQ=4-(8)/(5)=(12)/(5)
此时P(-(6)/(5)，(12)/(5))
综合得，满足条件的点P有三个，
分别为：P₁（0，0）；P2((16)/(5)，(8)/(5))；P3(-(6)/(5)，(12)/(5))．
（写对第一个（2分），二个（3分），3个且不多写（4分），写对4个且多写得（3分）．）