如图，直线y＝−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．（1）试求点A、B、C的坐标；（2）求sin∠ABC的值．

Question

如图，直线y＝−(3)/(4)x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿着过点B的某条直线折叠，使点A落在y轴负半轴上的点D处，折痕与x轴交于点C．
（1）试求点A、B、C的坐标；
（2）求sin∠ABC的值．

Answer 1

（1）∵直线y＝−(3)/(4)x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0）、B（0，3），（2分）
由翻折得：BD=BA=5，CD=CA，∠ABC=∠DBC，（1分）
∴D（0，-2），（1分）
设点C（x，0），则在Rt△COD中，
CD=4-x，（4-x）²=x²+4，
解得x＝(3)/(2)，∴C（(3)/(2)，0）；（2分）

（2）∵∠ABC=∠DBC，
∴sin∠ABC=(OC)/(BC)，（2分）
∵BC²=OC²+OB²，
∴BC＝(3√(5))/(2)，（1分）
∴sin∠ABC=(√(5))/(5)．（1分）