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将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,(1)如果M为CD
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将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E
交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G
将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,(1)如果M为CD的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.(2)如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;若无关,请说明理由
(图不会发)
交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G
将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,(1)如果M为CD的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.(2)如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;若无关,请说明理由
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)设正方形边长为a,DE为x,则DM= a2,EM=EA=a-x
在Rt△DEM中,∠D=90°,
∴DE2+DM2=EM2
x2+( a2)2=(a-x)2
x= 3a8
EM= 5a8
DE:DM:EM=3:4:5;
(2)△CMG的周长与点M的位置无关
证明:设CM=x,DE=y,则DM=2a-x,EM=2a-y,
∵∠EMG=90°,
∴∠DME+∠CMG=90度.
∵∠DME+∠DEM=90°,
∴∠DEM=∠CMG,
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG,
∴ CGDM=CMDE=MGEM即 CG2a-x=xy=MG2a-y
∴CG= x(2a-x)y,MG=x(2a-y)y
△CMG的周长为CM+CG+MG= 4ax-x2y
在Rt△DEM中,DM2+DE2=EM2
即(2a-x)2+y2=(2a-y)2
整理得4ax-x2=4ay
∴CM+MG+CG= 4ax-x2y= 4ayy=4a.
所以△CMG,的周长为4a,与点M的位置无关.
在Rt△DEM中,∠D=90°,
∴DE2+DM2=EM2
x2+( a2)2=(a-x)2
x= 3a8
EM= 5a8
DE:DM:EM=3:4:5;
(2)△CMG的周长与点M的位置无关
证明:设CM=x,DE=y,则DM=2a-x,EM=2a-y,
∵∠EMG=90°,
∴∠DME+∠CMG=90度.
∵∠DME+∠DEM=90°,
∴∠DEM=∠CMG,
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG,
∴ CGDM=CMDE=MGEM即 CG2a-x=xy=MG2a-y
∴CG= x(2a-x)y,MG=x(2a-y)y
△CMG的周长为CM+CG+MG= 4ax-x2y
在Rt△DEM中,DM2+DE2=EM2
即(2a-x)2+y2=(2a-y)2
整理得4ax-x2=4ay
∴CM+MG+CG= 4ax-x2y= 4ayy=4a.
所以△CMG,的周长为4a,与点M的位置无关.
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