将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,（1）如果M为CD

Question

将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E
交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G
将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,（1）如果M为CD的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.（2）如果M为CD上任一点,设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由
(图不会发)

Answer 1

证明：（1）设正方形边长为a,DE为x,则DM= a2,EM=EA=a-x
在Rt△DEM中,∠D=90°,
∴DE2+DM2=EM2
x2+（ a2）2=（a-x）2
x= 3a8
EM= 5a8
DE：DM：EM=3：4：5；
（2）△CMG的周长与点M的位置无关
证明：设CM=x,DE=y,则DM=2a-x,EM=2a-y,
∵∠EMG=90°,
∴∠DME+∠CMG=90度．
∵∠DME+∠DEM=90°,
∴∠DEM=∠CMG,
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG,
∴ CGDM=CMDE=MGEM即 CG2a-x=xy=MG2a-y
∴CG= x(2a-x)y,MG=x(2a-y)y
△CMG的周长为CM+CG+MG= 4ax-x2y
在Rt△DEM中,DM2+DE2=EM2
即（2a-x）2+y2=（2a-y）2
整理得4ax-x2=4ay
∴CM+MG+CG= 4ax-x2y= 4ayy=4a．
所以△CMG,的周长为4a,与点M的位置无关．