（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=12AC，连接OA，OB

Question

（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x²+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=(1)/(2)AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（-4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（-4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=-x²+bx+c得，

4＝−16−4b+c

4＝c

，
解得

b＝−4

c＝4

；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x²-4x+4，
∴顶点D的坐标为（-2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=(1)/(2)AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（-2√(2)，2）或（2√(2)，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴(BC)/(OB)=(BO)/(AB)，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=√(3)BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=√(2)BC，AC=√(2)OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（-√(2)c，c），
∴顶点横坐标(b)/(2)=(√(2))/(2)c，b=√(2)c，
∵将A点代入可得c=-（-√(2)c）²+√(2)c•√(2)c+c，
∴横坐标为±√(2)c，纵坐标为c即可，
令c=2，
∴A点坐标可以为（2√(2)，2）或者（-2√(2)，2）．