在平面直角坐标系中，坐标原点为O，直线l1：y=x+4与x轴交于点A，直线l2：y=-x+2与y轴交于点B．直线y＝−12x+b与l1交于点M，与l2交于点N（点N不与B重合）．设△OBM、△OAM的面积分别为S1，S2，（1

Question

在平面直角坐标系中，坐标原点为O，直线l₁：y=x+4与x轴交于点A，直线l₂：y=-x+2与y轴交于点B．直线y＝−(1)/(2)x+b与l₁交于点M，与l₂交于点N（点N不与B重合）．设△OBM、△OAM的面积分别为S₁，S₂，
（1）当0≤b≤1时，求S₁关于b的函数关系式，并求出S₁的最大值；
（2）若点M的纵坐标大于(4)/(3)，且S₁＜S₂，求b的取值范围．

Answer 1

（1）由直线l₁：y=x+4与x轴相交，得点A（-4，0），
由直线l₂：y=-x+2与y轴相交，得点B（0，2），
联立

y＝x+4

y＝−(1)/(2)x+b

，
得

x＝(2b−8)/(3)

y＝(2b+4)/(3)

，即M（(2b−8)/(3)，(2b+4)/(3)），
∴S₁=(1)/(2)×2×（-(2b−8)/(3)）=(8−2b)/(3)，
当0≤b≤1时，S₁的最大值为(8)/(3)；

（2）由（1）可知，S₂=(1)/(2)×4×(2b+4)/(3)=(4b+8)/(3)，
∵点M的纵坐标大于(4)/(3)，且S₁＜S₂，
∴

(2b+4)/(3)＞(4)/(3)

(8−2b)/(3)＜(4b+8)/(3)

，
解得b＞0．