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已知圆的参数方程为x=cosθy=sinθ(θ∈[0,2π],θ为参数),将圆上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变得到曲线C1;以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2
题目详情
已知圆的参数方程为
(θ∈[0,2π],θ为参数),将圆上所有点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变得到曲线C1;以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+
)=4
.
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程
(Ⅱ)设P为曲线C1上的动点,求点 P与曲线C2上点的距离的最小值,并求此时P点的坐标.
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3 |
π |
4 |
2 |
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程
(Ⅱ)设P为曲线C1上的动点,求点 P与曲线C2上点的距离的最小值,并求此时P点的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由已知可得曲线C1的参数方程为
,
消去参数θ可得
+y2=1,
∵曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+
)=4
,
∴ρcosθ+ρsinθ=8,即x+y=8;
(Ⅱ)设P(
cosθ,sinθ)为曲线C1上的动点,
则点P与曲线C2:x+y=8上点的距离d=
=
,
当sin(θ+
)=1即θ=
时,d取最小值3
,此时P(
,
)
|
消去参数θ可得
x2 |
3 |
∵曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+
π |
4 |
2 |
∴ρcosθ+ρsinθ=8,即x+y=8;
(Ⅱ)设P(
3 |
则点P与曲线C2:x+y=8上点的距离d=
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| ||
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|2sin(θ+
| ||
|
当sin(θ+
π |
3 |
π |
6 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
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