已知圆的参数方程为x=cosθy=sinθ（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变得到曲线C1；以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2

Question

已知圆的参数方程为

x=cosθ

y=sinθ

（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的√(3)倍，纵坐标不变得到曲线C₁；以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin(θ+(π)/(4))=4√(2)．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点 P与曲线C₂上点的距离的最小值，并求此时P点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可得曲线C₁的参数方程为

x=√(3)cosθ

y=sinθ

，
消去参数θ可得(x2)/(3)+y²=1，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρsin(θ+(π)/(4))=4√(2)，
∴ρcosθ+ρsinθ=8，即x+y=8；
（Ⅱ）设P（√(3)cosθ，sinθ）为曲线C₁上的动点，
则点P与曲线C₂：x+y=8上点的距离d=(|√(3)cosθ+sinθ-8|)/(√(2))=(|2sin(θ+(π)/(3))-8|)/(√(2))，
当sin（θ+(π)/(3)）=1即θ=(π)/(6)时，d取最小值3√(2)，此时P（(3)/(2)，(1)/(2)）