如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1-AD-C1的大小．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．
（I）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；
（II）设AA1＝AC＝√(2)AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO

∥

.

(1)/(2)C₁C，又C₁C

∥

.

B₁B，所以EO

∥

.

DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，
故BO⊥平面ACC₁A₁，
∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁，ED⊥CC₁，
∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线．（6分）
（Ⅱ）连接A₁E，由AA₁=AC=√(2)AB可知，A₁ACC₁为正方形，
∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和EDÌ平面ADC₁知平面
ADC₁⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ADC₁．
作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角．
不妨设AA₁=2，则AC=2，AB=√(2)，ED=OB=1，EF=(AE×ED)/(AD)=(√(2))/(√(3))，
tan∠A₁FE=√(3)，
∴∠A₁FE=60°．
所以二面角A₁-AD-C₁为60°．（12分）