急!数学立体几何求解!120度二面角a-MN-b内有一点A,AB垂直于平面a,AC垂直于平面b,垂足分别为B,C.且AB＝3,AC＝2.则点A到MN的距离?

Question

急!数学立体几何求解!
120度二面角a-MN-b内有一点A,AB垂直于平面a,AC垂直于平面b,垂足分别为B,C.且AB＝3,AC＝2.则点A到MN的距离?

Answer 1

做过 ABC 的平面,交 MN 于 D 点.
由条件知,AB 垂直 BD,MN ,AC 垂直 CD,MN ,于是 MN 垂直 平面 ABCD,
MN 垂直 AD ,
于是,AD 为所求.
考虑四边形 ABDC ,设 BD = b ,CD = c ,利用平面几何知识,
b^2 + 3^2 = c^2 + 2^2
b^2 + c^2 - 2*b*c*cos120 = 3^2 + 2^2 - 2*3*2*cos60
整理得：
c^2 - b^2 = 5 .(I)
b^2 + c^2 + bc = 7 .(II)
c^2 = b^2 + 5 代入 (II),
2b^2 + b*根号(b^2 + 5) = 2
b^2 * (b^2 + 5) = (2 - 2b^2)^2
b^4 + 5b^2 = 4b^4 - 8b^2 + 4
3b^4 - 13b^2 + 4 = 0
(3b^2 - 1)(b^2 - 4) = 0
b^2 = 1/3,or b^2 = 4 (这个根不可能,因为它使 c = -3)
AD^2 = 3^2 + 1/3 = 28/3
开方后就是结果.