如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线（）A．有且仅有一条B．有二条C．有四条D．不存在

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是异面直线AC与A₁D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线（　　）

A．有且仅有一条
B．有二条
C．有四条
D．不存在

Answer 1

连结BD₁、AD₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D⊂平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．
又∵正方形AA₁D₁D中，AD₁⊥A₁D，AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁，
∵BD₁⊂平面ABD₁，∴A₁D⊥BD₁
同理可得AC⊥BD₁
∵EF是异面直线AC与A₁D的公垂线，即AC⊥EF且A₁D⊥EF，
∴BD₁∥EF．
∵正方体的八个顶点所连接的直线中，除BD₁外的其它直线与BD₁都不平行，
∴有且仅有一条直线BD₁与EF平行．
故选：A