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求证：sin²α+sin²β+2sinαsinβcos(α+β)=sin²(α+β)
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求证：sin²α+sin²β+2sinαsinβcos(α+β)=sin²(α+β)
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答案和解析
左边=sin²α + sin²β + 2sinα*sinβ*(cosα*cosβ - sinα*sinβ)
=sin²α + sin²β + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ - 2sin²α*sin²β
=(sin²α - sin²α*sin²β) + (sin²β - sin²α*sin²β) + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ
=sin²α(1 - sin²β) + sin²β(1 - sin²α) + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ
=sin²α*cos²β + sin²β*cos²α + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ
=(sinα*cosβ + sinβ*cosα)²
=sin²(α+β) =右边
=sin²α + sin²β + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ - 2sin²α*sin²β
=(sin²α - sin²α*sin²β) + (sin²β - sin²α*sin²β) + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ
=sin²α(1 - sin²β) + sin²β(1 - sin²α) + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ
=sin²α*cos²β + sin²β*cos²α + 2sinα*sinβ*cosα*cosβ
=(sinα*cosβ + sinβ*cosα)²
=sin²(α+β) =右边
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