数列极限lim{((1³+2³+...n³)/n³)-4/n},n趋于无穷的极限?(1³+2³+...n³)/n³=∑(i/n)³,(i=1到n).所以原式可为∑(i/n)³-4/n=n*(1/n)∑(i/n)³-4/n=n*∑(1/n)(i/n)³-4/n,∑(1/n)(i/n)

Question

数列极限lim{((1³+2³+...n³)/n³)-4/n},n趋于无穷的极限?
(1³+2³+...n³)/n³=∑(i/n)³,(i=1到n).所以原式可为
∑(i/n)³-4/n=n*(1/n)∑(i/n)³-4/n=n*∑(1/n)(i/n)³-4/n,∑(1/n)(i/n)³可看做在区间[0,1]上x³的积分和,∑(1/n)(i/n)³=∫x³ dx=1/4.所以n*∑(1/n)(i/n)³-4/n=n/4-n/4=0.
可是换另外一种方法得出结果是1/2,所以我想知道上面的算法有什么问题?

Answer 1

(1³+2³+...n³)/n³=∑(i/n)³,(i=1到n).①所以原式可为
∑(i/n)³-4/n=n*(1/n)∑(i/n)³-4/n=n*∑(1/n)(i/n)³-4/n,∑(1/n)(i/n)³可看做在区间[0,1]上x³的积分和②
∑(1/n)(i/n)³=∫x³ dx=1/4.所以n*∑(1/n)(i/n)³-4/n=n/4-n/4=0.
这种方法当然有问题
第①步本身没问题,问题出在第②步
∑(i/n)³与n*(1/n)∑(i/n)³这个是能等同的
单独看这个本身没错：∑(1/n)(i/n)³可看做在区间[0,1]上x³的积分和 但是如果前面有关于n的参数就根本就不能n*∑(1/n)(i/n)³等同 于4/n ,这是因为∑前面 的数n变化只是在无穷上,而∑后面的(1/n)(i/n)³ 的n变化的值却是从i=1到n ∑前后两个n求极限时根本没有起到同时变化的作用
因此这种方法就是行不通的.