高一数学数列的题目怎么做?已知正项数列｛an｝满足a1=1,2Sn=2an^2+（an）-1（1）求an（2）bn=an/2^n,求｛bn｝的谦n项和

Question

高一数学数列的题目怎么做?
已知正项数列｛an｝满足a1=1,2Sn=2an^2+（an）-1
（1）求an
（2）bn=an/2^n,求｛bn｝的谦n项和

Answer 1

(1)分析：就一般情况而言,我们可以首先假定an是关于n的多项式,sn自然也是关于n的多项式,而且sn中n的最高次数比an中n的最高次数多1,假设an中n的最高次数为m,则sn中n的最高次数为m+1,但是依据题意2sn=2an^2+an-1,sn中n的最高次数为2m,所以2m=m+1,即m=1,即an为n的一次多项式,所以可设：
an=pn+q,p、q为常数,n=1、2、3.
显然,an为等差数列,所以：
2sn=n(pn+q+1)
2an^2+an-1=2p^2n^2+(4q+1)pn+2q^2+q-1
所以：n(pn+q+1)
=2p^2n^2+(4q+1)pn+2q^2+q-1
比较两端同次项的系数得：
2p^2=p
(4q+1)p=q+1
2q^2+q-1=0
由于p≠0(an为一次多项式),所以由上面三式可以解得：p=q=1/2,所以：
an=(n+1)/2
(2)bn=an/2^n=(n+1)/2^(n+1)
=1/2^(n+1)+n/2^(n+1)
=cn+(1/2)dn
上式cn=1/2^(n+1),dn=n/2^n,所以可通过求cn和dn的前n项和求bn的前n项和.
cn的前n项和为：
(1/2)(1-1/2^n)
dn的前n项和=(1/2)+(2/2^2)+...+(n/2^n)
=(1/2)+(1/2^2+1/2^2)+(1/2^3+1/2^3+1/2^3)+...+(1/2^n+1/2^n+...+1/2^n)
=(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)
+(1/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^n)
+(1/2^3+1/2^4+1/2^5+...+1/2^n)
+.
=(1-1/2^n)+(1/2-1/2^n)+(1/2^2-1/2^n)+.+(1/2^(n-1)-1/2^n)
=2(1-1/2^n)-n/2^n
所以：bn=cn+(1/2)dn
=1/2-1/2^(n+1)+1-1/2^n-n/2^(n+1)
即：bn=[3(2^n-1)-n]/2^(n+1)