1、数列｛an｝满足(1/2)a1+(1/2^2)a2+(1/2^3)a3+……+（1/2^n)=2n+5.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若b1=1,当n>=2时,bn=n*an,求｛bn｝的前n项和；2、已知函数f（x）=x/（1+x）,（x>0).数列｛an｝的通项公

Question

1、数列｛an｝满足(1/2)a1+(1/2^2)a2+(1/2^3)a3+……+（1/2^n)=2n+5.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若b1=1,当n>=2时,bn=n*an,求｛bn｝的前n项和；
2、已知函数f（x）=x/（1+x）,（x>0).数列｛an｝的通项公式为an=1/n,数列｛bn｝满足b1=1/2,bn+1=〔（1+bn）^2〕* f（bn）,n为正整数,
Tn=1/(a1+b1)+1/(2a1+b2)+1/(3a1+b3)+……+1/(nb1+bn).
求证：对一切n>=2的正整数 ,1
不是等比的，不好意思

Answer 1

记P[n]=(1/2)a1+(1/2^2)a2+(1/2^3)a3+……+（1/2^n)an=2n+5
则p[n-1]=(1/2)a1+(1/2^2)a2+(1/2^3)a3+……+（1/2^(n-1)a[n-1])=2(n-1)+5
P[n]-p[n-1]=2=(1/2^n)an所以an=2^(n+1)
则bn=n*2^(n+1),即Sn=2^2+2*2^3+3*2^4+...+n*2^(n+1),则2Sn=2^3+2*2^4+3*2^5+...+n*2^(n+2),所以Sn=n*2^(n+2)-(2^3+2^4+2^5+...+2^(n+1))-4=(n-1)*2^(n+2)+4
bn+1=〔（1+bn）^2〕* f（bn）得bn+1=（1+bn）bn
两边倒数得1/b[n+1]=1/b[n]-1/(1+b[n]),从而1/(1+b[n])=1/b[n]-1/b[n+1]
注意到nan=1,所以Tn=1/(1+b[1])+...+1/(1+b[n])=1/b[1]-1/b[n+1]=3/2-1/b[n+1];
由递推公式知b[n]>0的并且b[n]递增,从而n>=2时,Tn>=T2=3/2-4/15>1,且Tn