1、设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2^n.(1)求a3,a4；(2)证明：{an+1-2an}是等比数列(3)求｛an｝的通项公式2、设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-3n(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式(2)求

Question

1、设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2^n.
(1)求a3,a4；
(2)证明：{an+1-2an}是等比数列
(3)求｛an｝的通项公式
2、设数列｛an｝的前n项和Sn=2an-3n
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式
(2)求数列{nan}的前n项和

Answer 1

1.（1）依次代入：a1=2,a2=6,a3=16,a4=40
（2）S(n+1)=2a(n+1)-2^(n+1) Sn=2an-2^n
相减得：a(n+1)=2a(n+1)-2an-2^n
即：a(n+1)-2an=2^n,得证
（3）由（2）：a(n+1)=2an+2^n
故：[a(n+1)]／2^(n+1)=an／2^n+1／2
∴ ﹛an／2^n﹜为等差数列 a1／2=1
于是an／2^n=(n+1)／2
an=(n+1)·2^(n-1)
2.(1)S(n+1)=2a(n+1)-3n-3
Sn=2an-3n
相减得：a(n+1)=2a(n+1)-2an-3
∴[a(n+1)+3]=2[an+3]
即：b(n+1)=2bn,∴﹛bn﹜为等比数列
a1=3 ∴b1=6
∴bn=3·2^n
∴an=3·2^n-3
(2)记前n项和为Tn
Tn=3·2＋2·3·2^2……+n·3·2^n-3n(n+1)／2
2Tn=3·2^2＋2·3·2^3……＋(n-1)·3·2^n+n·3·2^(n+1)-3n(n+1)
相减得：Tn=n·3·2^(n+1)-3·(2^(n+1)-2)-3n(n+1)／2
∴Tn=3(n-1)·2^(n+1)-3n(n+1)／2+6