已知f(x)=x^2-2x+a,g(x)=x+1/x,在下列条件中分别求a的取值范围（1）∀x1∈(-∞,0),总存在x2∈[-1,1],使得f(x2)>g(x1）（2）∀x1∈(-∞,0),x2∈[-1,1],使得f(x2)>g(x1）恒成立

Question

已知f(x)=x^2-2x+a,g(x)=x+1/x,在下列条件中分别求a的取值范围
（1）∀x1∈(-∞,0),总存在x2∈[-1,1],使得f(x2)>g(x1）
（2）∀x1∈(-∞,0),x2∈[-1,1],使得f(x2)>g(x1）恒成立

Answer 1

因为g(x)=x+1/x (x1-2得a>-5.
（2）恒成立即任何一个都成立.题目中,在X2的定义域内需要所有存在的X2都使f(x2)>g(x1）,才得证.即只要f(x)的最小值大于-2就可以了.
因为 f(x)=x^2-2x+a,其在定义域内为减函数.f(x2)min=f(1)=1-2+a=a-1,又a-1>-2,得a-1.
综上所述,当a>-5时,x1∈(-∞,0),总存在x2∈[-1,1],使得f(x2)>g(x1）.
当a>-1时,x1∈(-∞,0),x2∈[-1,1],使得f(x2)>g(x1）恒成立.
解析：本题难度不大,是高中函数恒成立与有解问题,关键在于理解”存在“和“任意”两词的意思,以及区别最大最小值.这两道题有很大的相似性,又有很大的区别性.如果你对这种类型的题不熟练,这道题就值得你细细研究.这种综合题很考验逻辑,也是老师所热衷的题型.加油.