线性代数内积已知：f属于span{1,sin(x),cos(x)},=1/pi(积分f(x)g(x)dx,从-pi到pi)求||cos(2x)-f(x)||的最小值我唯一一点儿思路就是有个定理||u+v||有一点翻译错了，是求f的方程当||cos(2x)-f(x)||最小

Question

线性代数 内积
已知：f属于span{1,sin(x),cos(x)},=1/pi (积分f(x)g(x)dx,从-pi到pi)
求||cos(2x)-f(x)||的最小值
我唯一一点儿思路就是有个定理||u+v||
有一点翻译错了，是求f的方程当||cos(2x)-f(x)||最小

Answer 1

我想范数||f||应该是为内积的平方根吧?
设f(x)＝a×sinx＋b×cosx＋c,a,b,c是任一实数,||cos2x-f(x)||^2＝1/π×∫(-π到π) (cos2x-f(x))^2dx＝1/π×∫(-π到π) (cos2x-asinx-bcosx-c)^2dx.
因为1,sinx,cosx,cos2x在[-π,π]上是正交的,所以||cos2x-f(x)||^2＝1/π×∫(-π到π) [(cos2x)^2＋(sinx)^2＋(bcosx)^2＋c^2]dx＝1＋(a^2+b^2+2c^2)π^2
最小值很明显是a=b=c=0时,此时f(x)＝0,最小值是1