如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，四边形AA1C1C也为菱形且∠A1AC=∠DAB=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）证明：平面AB1C∥平面DA1C1；（Ⅲ）在棱CC1上是否存在点P，使

Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，四边形AA₁C₁C也为菱形且∠A₁AC=∠DAB=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在点P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成锐二面角的余弦值为(√(30))/(√(31))？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD，∵平面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且交线为AC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
又∵A₁A⊂平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AA₁．…（4分）
（Ⅱ）证明：由棱柱的性质知B₁C₁∥AD，且B₁C₁=AD
∴四边形AB₁C₁D为平行四边形，
∴AB₁∥DC₁，∵AB₁在平面DA₁C₁外，DC₁⊂平面DA₁C₁
∴AB₁∥平面DA₁C₁，…（5分）
同理B₁C∥平面DA₁C₁，…（6分）
∵AB₁∩B₁C=B₁，∴平面AB₁C∥平面DA₁C₁．…（7分）
（Ⅲ）设AC交BD于O，连接A₁O，
∵菱形AA₁C₁C，且∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC是等边三角形，且O为AC中点，∴A₁O⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，
∴A₁O⊥平面ABCD，又BD⊥AC，
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OB=1，…（8分）
则OA＝√(3)，AA1＝2√(3)，A1O＝3，
∴B（1，0，0），D（-1，0，0），A（0，-√(3)，0），
C（0，√(3)，0），A₁（0，0，3），
∴

A1C1

＝

AC

＝(0，2

作业帮用户 2017-10-09

问题解析

（Ⅰ）连接BD，由已知条件推导出BD⊥平面AA₁C₁C，由此能证明BD⊥AA₁．
（Ⅱ）由已知条件推导出AB₁∥平面DA₁C₁，B₁C∥平面DA₁C₁，由此能够证明平面AB₁C∥平面DA₁C₁．
（Ⅲ）设AC交BD于O，连接A₁O，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OB=1利用向量法能求出P为CC₁的中点时，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的锐二面角的余弦值为(√(30))/(√(31))．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面平行的证明，考查满足条件的点的位置的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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