若不等式tt2+9≤a≤t+2t2在t∈（0，2]上恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

若不等式(t)/(t2+9)≤a≤(t+2)/(t2)在t∈（0，2]上恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

要使不等式(t)/(t2+9)≤a≤(t+2)/(t2)在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1＝(t)/(t2+9)在t∈（0，2]上的最大值，y2＝(t+2)/(t2)在t∈（0，2]上的最小值．
y1＝(t)/(t2+9)＝(1)/(t+(9)/(t))，根据函数的单调性可知，函数在t=2时取得最大值为(2)/(13)
y2＝(t+2)/(t2)＝ (1)/(t)+(2)/(t2)＝2((1)/(t)+(1)/(4))2 −(1)/(8)，从而函数在t=2时取得最小值为1
所以实数a的取值范围是[(2)/(13)， 1 ]
故答案为[(2)/(13)， 1 ]