若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）-f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）-f（x）=4x+1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax²+bx+3．
又f（x+1）-f（x）=4x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=4x+1，
即2ax+a+b=4x+1，
∴

2a＝4

a+b＝1

，∴

a＝2

b＝−1

．∴f（x）=2x²-x+3．
（2）f（x）＞6x+m等价于2x²-x+3＞6x+m，即2x²-7x+3＞m在[-1，1]上恒成立，
令g（x）=2x²-7x+3，则g（x）_min=g（1）=-2，∴m＜-2．