已知函数f(x)＝4x+ax+b(a，b∈R)为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=-2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f

Question

已知函数f(x)＝4x+(a)/(x)+b(a，b∈R)为奇函数．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a=-2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在（-∞，-1]上至多有一个零点．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f(x)＝4x+(a)/(x)+b(a，b∈R)为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即−4x−(a)/(x)+b＝−4x−(a)/(x)−b，
∴b=0，
又f（1）=4+a+b=5，
∴a=1
∴函数f（x）的解析式为f(x)＝4x+(1)/(x)．
（Ⅱ）a=-2，f(x)＝4x−(2)/(x)．
∵函数y＝4x，y＝−(2)/(x)在[1，4]均单调递增，
∴函数f（x）在[1，4]单调递增，
∴当x∈[1，4]时，f(x)max＝f(4)＝(31)/(2)．
∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，
∴t≥(31)/(2)，
∴实数t的最小值为(31)/(2)．
（Ⅲ）证明：g(x)＝4•2x+(a)/(2x)−c，
设x₁＜x₂≤-1，

g(x1)−g(x2)＝(4•2x1+(a)/(2x1)−c)−(4•2x2+(a)/(2x2)−c)

＝(4•22x1+x2+a•2x2−4•22x2+x1−a•2x1)/(2x1+x2)

＝(4•2x1+x2(2x1−2x2)−a(2x1−2x2))/(2x1+x2)

=((4•2x1+x2−a)(2x1−2x2))/(2x1+x2)，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x1+x2＜−2，4•2x1+x2＜4•2−2＝1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴4•2x1+x2−a＜0，又2x1−2x2＜0，2x1+x2＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在（-∞，-1]单调递减，
又c∈R，可知函数g（x）在（-∞，-1]上至多有一个零点．