设a大于等于0,f(x)=x-1-In2x+2aInx（x大于0)求证x大于1时,恒有x大于In2x-2aInx+1Inx的平方，不是Inx不是In2x,是Inx的平方

Question

设a大于等于0,f(x)=x-1-In2x+2aInx（x大于0) 求证x大于1时,恒有x大于In2x-2aInx+1
Inx的平方，不是Inx不是In2x,是Inx的平方

Answer 1

f(x)=x－1－ln²x＋2alnx,则：
f'(x)=1－(2lnx)/x＋(2a/x)=(x－2lnx＋2a)/(x)
另设：g(x)=x－2lnx＋2a,则g'(x)=1－(2/x)=(x－2)/x,则：
g(x)在(0,2)上递减,在(2,＋∞)上递增,则g(x)的最小值是g(2)=2－2ln2＋2a=2ln(e/2)＋2a
因为a≥0,e/2>1则ln(e/2)>0,所以g(x)的最小值g(2)>0,从而,对于f'(x)来说,则有：
f'(x)>0,所以函数f(x)在(－∞,＋∞)上是递增的,
所以函数f(x)在x>1时是递增的,则：
当x>1时,恒有f(x)>f(1)成立,即：
x－1－ln(2x)＋2alnx>0
就是：x>ln(2x)－2alnx＋1成立.