如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且BN=13BC．（1）求证：MN⊥AB；（2）求平面MAN与平面PAN所成的锐二面角的余弦值．

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且BN=(1)/(3)BC．

（1）求证：MN⊥AB；
（2）求平面MAN与平面PAN所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

证明：（1）设AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC2=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=√(3)，∴BN=(√(3))/(3)，
∴(AB)/(BC)=(BN)/(AB)，
又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也为等腰三角形．
取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴AB⊥平面MNQ，
又MN⊂平面MNQ，∴AB⊥MN；
（2） 过B作BD∥AC，交AN延长线于D，连PD，分别取PD、AD中点E、F，连ME，EF，MF，
由CA⊥面PAD，BD∥AC∥ME，PA⊥AN，EF∥PA，则ME⊥面PAD，EF⊥AN，
且MF⊥AN，∴∠EFM是所求两面角的平面角．
BD=(1)/(2)AC=(1)/(2)，ME=(1)/(2)BD=(1)/(4)，EF=(1)/(2)PA=(1)/(2)，MF=(√(3))/(4)，
∴cos∠EFM=(2√(5))/(5)．
∴平面MAN与平面PAN所成的锐二面角的余弦值为(2√(5))/(5)．