在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．(1)证明：AC⊥SB；(2)求二面角N－CM－B的大小；(3)求点B到平面CMN的距离．

Question

在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．

(1)证明：AC⊥SB；

(2)求二面角N－CM－B的大小；

(3)求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

　　(1)取AC中点D，连结SD、DB．

　　∵SA＝SC，AB＝BC，

　　∴AC⊥SD且AC⊥BD，

　　∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

　　∴AC⊥SB　　　　　　　4分;

　　(2)∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

　　∴平面SDB⊥平面ABC．

　　过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

　　过E作EF⊥CM于F，连结NF，

　　则NF⊥CM．

　　∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角　　　　　　　　6分

　　∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC．

　　又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．

　　∵SN＝NB，

　　∴NE＝SD＝＝＝，且ED＝EB．

　　在正△ABC中，由平几知识可求得EF＝MB＝，

　　在Rt△NEF中，tan∠NFE＝＝2，

　　∴二面角N－CM－B的大小是arctan2　　　　　　　　　　10分;

　　(3)在Rt△NEF中，NF＝＝，

　　∴S_△CMN＝CM·NF＝，

　　S_△CMB＝BM·CM＝2　　　　　　　　　11分

　　设点B到平面CMN的距离为h，

　　∵V_B－CMN＝V_N－CMB，NE⊥平面CMB，

　　∴S_△CMN·h＝S_△CMB·NE，∴h＝＝．

　　即点B到平面CMN的距离为　　　　　　14分