当x=0时怎么确定∫(积分上限为x积分下线为0)f（t）dt的定义域中包括x=0设f(x)是奇函数,除x=0外处处连续,x=0是其第一类间断点,则∫(积分上限为x积分下线为0)f（t）dt是连续的偶函数.

Question

当x=0时 怎么确定∫(积分上限为x积分下线为0)f（t）dt 的定义域中包括x=0
设f(x)是奇函数,除x=0外处处连续,x=0是其第一类间断点,则∫(积分上限为x积分下线为0)f（t）dt是连续的偶函数.

Answer 1

记F(x)=∫(0-->x)f(t)dt
对任意x0,只需验证lim(x-->x0)F(x)=F(x0)即lim(x-->x0)F(x)-F(x0)=0即可说明F(x)在xo连续
因为f(x)除0点外连续且x=0是其第一类间断点,那么f(x)在任何闭区间必然有界设为M
lim(x-->x0)F(x)-F(x0)=lim(x-->x0)∫(x0-->x)f(t)dt0
所以F(x)是连续的
再说明它是偶函数 F(x)-F(-x)=∫(-x-->x)f(t)dt f(t)为奇函数
所以F(x)-F(-x)=0
F(x)是偶函数