已知函数f(x)=x+t/x(t>0)和点p(1,0),过点p作曲线y=f(x)的两条切线pm,pn切点分别是m()x1,y1),n(x2,y2)(1）求证：x1,x2为关于x的方程x^2+2tx-t=0的两根（2）设|mn|=g(t),求函数g(t)的表达式

Question

已知函数f(x)=x+t/x(t>0)和点p(1,0),过点p作曲线y=f(x)的两条切线pm,pn切点分别是m()x1,y1),n(x2,y2)
(1）求证：x1,x2为关于x的方程x^2+2tx-t=0的两根
（2）设|mn|=g(t),求函数g(t)的表达式

Answer 1

1、因为pm,pn与函数f(x)相切,由于切线的斜率等于函数在切点的导数,因此有(1-t*x^-2)(x-1)=x+t/x.化简即得x^2+2tx-t=0.
2、g^2(t)=(x1-x2)^2+(x1-x2+t/x1-t/x2)^2.由根与系数的关系,有x1+x2=-2t,x1x2=t.并且x1^2+x2^2=4t^2-t.将(x1-x2)^2+(x1-x2+t/x1-t/x2)^2展开化简为4t^2-4t.开根号即得g(t).