已知函数f（x）=log2g（x）+（k-1）x．（1）若g（log2x）=x+1，且f（x）为偶函数，求实数k的值；（2）当k=1，g（x）=ax2+（a+1）x+a时，若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=log₂g（x）+（k-1）x．
（1）若g（log₂x）=x+1，且f（x）为偶函数，求实数k的值；
（2）当k=1，g（x）=ax²+（a+1）x+a时，若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）令t=log₂x，则x=2^t，代入g（log₂x）=x+1，
∴g（t）=2^t+1，
∴f（x）=log₂（2^x+1）+（k-1）x，
由函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴log₂（2^x+1）+（k-1）x=log₂（2^-x+1）-（k-1）x，
∴x=-2（k-1）x，对一切x∈R恒成立，
∴2（k-1）=-1，
∴k=(1)/(2)，
（2）k=1，f（x）=log₂[ax²+（a+1）x+a]，
当a≠0时，要使函数f（x）的值域为R，
要求一元二次方程：ax²+（a+1）x+a=0，
∴

a>0

△≥0

，即

a>0

(a+1)2-4a2≥0

，
解得：0<a≤1，
当a=0时，f（x）=log₂x，函数f（x）的值域为R，
综合可知：实数a的取值范围[0，1]．