已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，f（x）≥14a-12恒成立．请解决下列问题：（1）求f（x）的解析式．（2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不单

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，f（x）≥(1)/(4a)-(1)/(2)恒成立．请解决下列问题：
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不单调，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：①f（3-x）=f（x），即函数图象关于直线x=(3)/(2)对称；
②f（1）=0；
③对任意实数x，f（x）≥(1)/(4a)-(1)/(2)恒成立，即函数存在最小值(1)/(4a)-(1)/(2)．
∴

a＞0

−(b)/(2a)＝(3)/(2)

a+b+c＝0

(4ac−b2)/(4a)＝(1)/(4a)−(1)/(2)

，
解得：

a＝1

b＝−3

c＝2

，
∴f（x）=x²-3x+2，
（2）若g（x）=f（x）-kx=x²-（3+k）x+2在[-2，2]上不单调，
则-2＜(3+k)/(2)＜2，
解得：-7＜k＜1．